\documentclass[12pt, a4paper]{article}
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	a4paper,
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	right=12.7 mm,
	top=12.7 mm,
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\newcommand{\bvec}[1]{\mathbf{#1}}
\newcommand{\formula}[1]{\text{式} \ref{#1} }

\begin{document}
	\section{复习：Lorentz变换}
	\footnote{本笔记是David Tong QFT的学习笔记。}
	老生常谈，假设有$S1,S2$两个参考系，且$S2$相对$S1$以速度$u$向右沿$x$轴运动；
	$S1$观察者使用$x^{(1)}$坐标，而$S2$观察者使用$x^{(2)}$坐标。
	我们给出如下Lorentz变换的公式：
	\begin{equation}
		x^{(2)} = L x^{(1)}
		\quad
		\begin{pmatrix} 
			ct^{(2)} \\ 
			x^{(2)} \\ 
			y^{(2)} \\ 
			z^{(2)} 
		\end{pmatrix} 
		= 
		\begin{pmatrix} 
			\gamma & -\frac{u}{c} \gamma & 0 & 0 \\ 
			-\frac{u}{c} \gamma & \gamma & 0 & 0 \\ 
			0 & 0 & 1 & 0 \\ 
			0 & 0 & 0 & 1 
		\end{pmatrix} 
		\begin{pmatrix} 
			ct^{(1)} \\ 
			x^{(1)} \\ 
			y^{(1)} \\ 
			z^{(1)} 
		\end{pmatrix}
	\end{equation}
	\begin{equation}
		x^{(1)} = L^{-1} x^{(2)}
		\quad
		\begin{pmatrix} 
			ct^{(1)} \\ 
			x^{(1)} \\ 
			y^{(1)} \\ 
			z^{(1)} 
		\end{pmatrix} 
		= 
		\begin{pmatrix} 
			\gamma & \frac{u}{c} \gamma & 0 & 0 \\ 
			\frac{u}{c} \gamma & \gamma & 0 & 0 \\ 
			0 & 0 & 1 & 0 \\ 
			0 & 0 & 0 & 1 
		\end{pmatrix} 
		\begin{pmatrix} 
			ct^{(2)} \\ 
			x^{(2)} \\ 
			y^{(2)} \\ 
			z^{(2)} 
		\end{pmatrix}
	\end{equation}
	
	\section{Lorentz标量场的Lorentz变换}
	
	\begin{figure}[h]
		\centering
		\begin{tikzpicture}[>=stealth]
			% 坐标系 S₁
			\draw[->,thick] (0,0) -- (5,0) node[below]{$x^{(1)}$};  % x轴
			\draw[->,thick] (0,0) -- (0,5) node[left]{$y^{(1)}$};   % y轴
			\draw[fill] (0,0) circle (1.5pt) node[below left]{$O_1$};  % 原点
			\node at (1.5,-0.5) {坐标系 $S_1$};
			% 坐标系 S₂ (相对平移)
			\draw[->,thick,red] (1,4) -- (1.5,4) node[right]{$v$};
			\draw[->,thick,red] (1,1) -- (5,1) node[below]{$x^{(2)}$};  % x轴
			\draw[->,thick,red] (1,1) -- (1,5) node[left]{$y^{(2)}$};   % y轴
			\draw[fill,red] (1,1) circle (1.5pt) node[below left]{$O_2$};  % 原点
			\node[red] at (1.5,4.5) {坐标系 $S_2$};
			
			\draw[fill=blue!20] (2,2) -- (4,2) -- (4,4) -- (2,4) -- cycle;
			
			\node at (4,4.5) {$\psi$};
			\draw[fill] (3,3) circle (1.5 pt) node[right] {};
			\draw[fill,red] (3,1) circle (1.5 pt) node[above] {$x^{(2)}=(1,1,0,0)$};
			\draw[fill] (3,0) circle (1.5 pt) node[above] {$x^{(1)}=(3,3,0,0)$};
			\draw[dashed] (3,3)--(3,0);
		\end{tikzpicture}
		\caption{示意图（虽然没有画出Lorentz变换效果）}
	\end{figure}
	
	现在我们将在场中应用Lorentz变换。
	在先前的讨论中，我们只需要对“有限个点”，例如各个粒子的4-坐标（“事件”）进行Lorentz变换；
	然而，在场论中，由于场在时空各处均有定义，因此我们需要对时空中的\textsl{每一个点}以及相应处的场进行Lorentz变换，
	这无疑让过程变得复杂了很多。
	
	我们首先探讨最简单的一类场，Lorentz标量场，的Lorentz变换。
	依然假设有$S1,S2$两个参考系，且$S2$相对$S1$以速度$u$向右沿$x$轴运动。
	$S1$观察者使用$x^{(1)}$坐标，观察到$\psi^{(1)}$；而$S2$观察者使用$x^{(2)}$坐标，观察到$\psi^{(2)}$。
	事实上，Lorentz标量场在Lorentz变换前后是“不变的”（非常小心这个词的含义！），即：
	\begin{equation}
		\psi^{(1)} (x^{(1)}) = \psi^{(2)} (x^{(2)}) \quad \text{如果} x^{(2)} = L x^{(1)} 
	\end{equation}
	其中$\psi^{(1)}$是$S1$下观察到的场量，而$\psi^{(2)}$是$S2$下观察到的场量。
	上式的另一种表述是
	\begin{equation}
		\psi^{(2)} (x^{(2)}) = \psi^{(1)} (L^{-1} x^{(2)})
		\qquad
		\psi^{(1)} (x^{(1)}) = \psi^{(2)} (L x^{(1)})
	\end{equation}
	举一个例子，假设$S1$下观察到的场是
	$$
	\psi^{(1)} = \cos(\omega t^{(1)} - k x^{(1)})
	$$
	那么，$S2$下观察到的场是
	$$
	\psi^{(2)} = \cos(\omega \frac{\gamma ct^{(2)} + \frac{u}{c} \gamma x^{(2)}}{c} - k (\frac{u}{c} \gamma c t^{(2)} + \gamma x^{(2)}))
	= \cos (\gamma(\omega - ku) t^{(2)} - \gamma (k - \omega \frac{u}{c^2}) x^{(2)} )
	$$
	（以下数据为假想示例）例如$S1$观察者在$x^{(1)} = (3,3,0,0)$处观察到$\psi^{(1)} = 1$，
	那么$S2$观察者将在$x^{(2)} = L x^{(1)} = (1,1,0,0)$处观察到$\psi^{(2)} = 1$，
	即 $\psi^{(1)} (x^{(1)} = (3,3,0,0)) = \psi^{(2)} (x^{(2)} = (1,1,0,0)) = 1$。
	虽然二者坐标数值不同，但这是因为他们处于不同的参考系，两个坐标表述的其实是时空中的同一点。
	
	初学者容易犯的错误之一是，在被花里胡哨的数学绕晕了之后认为“不变”指$\psi^{(1)}(x^{(1)} = (1,1,0,0)) = \psi^{(2)}(x^{(2)} = (1,1,0,0))$，
	这显然是\textbf{错误}的，甚至在经典力学的Galilean变换下这也是错的！
	
	使用计算机的术语，$\psi^{(1)}$只接受$x^{(1)}$“类型”的坐标，而$\psi^{(2)}$只接受$x^{(2)}$“类型”的坐标。
	如果往$\psi^{(1)}$中直接代入$x^{(2)}$，会得到一个“类型错误”，除非预先使用Lorentz变换 “转换类型”。
	
	
	\section{Lorentz标量场各类导数的Lorentz变换}
	接下来我们讨论Lorentz标量场各类导数$\pdv{\psi}{x}$的转换。
	有人可能会问，如果场是“不变的”，那导数会变吗？
	答案是，会的。粗浅地说，因为$\pdv{\psi}{x}$中，虽然$\partial \psi$“不变”，但是$\partial x$会由于尺缩效应而改变，因此导数值是会变的。
	然而，这个论证并非全面，我们随后正式探讨。
	
	我们首先以$\pdv{\psi^{(2)}}{x^{(2)}}$为例
	\begin{equation}
		\begin{aligned}
			\pdv{\psi^{(2)}}{x^{(2)}} |_{x^{(2)}}
			&= \frac{\psi^{(2)} (t^{(2)}, x^{(2)} + \dd x^{(2)}, y^{(2)}, z^{(2)}  ) - \psi^{(2)} (t^{(2)}, x^{(2)}, y^{(2)}, z^{(2)})}{\dd x^{(2)}}\\
			&= \frac{\psi^{(1)} (\gamma t^{(2)} + \gamma \frac{u}{c^2} x^{(2)}, \gamma u t^{(2)}  + \gamma (x^{(2)}+\dd x^{(2)}), y^{(2)}, z^{(2)}) 
				- \psi^{(1)} (\gamma t^{(2)} + \gamma \frac{u}{c^2} x^{(2)}, \gamma u t^{(2)}  + \gamma x^{(2)}), y^{(2)}, z^{(2)})}{\dd x^{(2)}}\\
			&= \frac{\psi^{(1)} (t^{(1)},x^{(1)},y^{(1)},z^{(1)})  + \pdv{\psi^{(1)}}{t^{(1)}}|_{x^{(1)}} \gamma \frac{u}{c^2} \dd x^{(2)} + \pdv{\psi^{(1)}}{x^{(1)}}|_{x^{(1)}} \gamma \dd x^{(2)}
				- \psi^{(1)} (\dots)}{\dd x^{(2)}}\\
			& = \pdv{\psi^{(1)}}{t^{(1)}}|_{x^{(1)}} \gamma \frac{u}{c^2} + \pdv{\psi^{(1)}}{x^{(1)}}|_{x^{(1)}} \gamma
		\end{aligned}
	\end{equation}
	其中假定$\dd x \to 0$，且$x^{(1)} = L^{-1} {x^{(2)}}$。
	第一行使用导数的定义展开，
	第二行使用Lorentz变换将$x^{(2)}$变为$x^{(1)}$并使用$S1$下的场，
	第三行在$S1$下进行Taylor展开。
	我们注意到，$S2$的观察者认为他“同时”测量了$x$与$x+\dd x$处的场；
	而对于$S1$的观察者，$S2$观察者的两次测量并不同时。
	这再次反映了相对论中“同时性的相对性”，以及解释了出现$t$偏导数项的原因。
	以此类推，我们得到
	\begin{equation}
		\begin{pmatrix} 
			\frac{1}{c} \pdv{\psi^{(2)}}{t^{(2)}} \\ 
			\pdv{\psi^{(2)}}{x^{(2)}} \\ 
			\pdv{\psi^{(2)}}{y^{(2)}} \\ 
			\pdv{\psi^{(2)}}{z^{(2)}} \\ 
		\end{pmatrix} 
		|_{x^{(2)}}
		= 
		\begin{pmatrix} 
			\gamma & \frac{u}{c} \gamma & 0 & 0 \\ 
			\frac{u}{c} \gamma & \gamma & 0 & 0 \\ 
			0 & 0 & 1 & 0 \\ 
			0 & 0 & 0 & 1 
		\end{pmatrix} 
		\begin{pmatrix} 
			\frac{1}{c} \pdv{\psi^{(1)}}{t^{(1)}} \\ 
			\pdv{\psi^{(1)}}{x^{(1)}} \\ 
			\pdv{\psi^{(1)}}{y^{(1)}} \\ 
			\pdv{\psi^{(1)}}{z^{(1)}} \\ 
		\end{pmatrix} 
		|_{x^{(1)}}
		\quad 
		x^{(2)} = L {x^{(1)}}
	\end{equation}
	或者压缩为
	\begin{equation}
		(\partial_\mu \psi^{(2)}) = L^{-1} (\partial_\nu \psi^{(1)} ) 
		\quad 
		x^{(2)} = L {x^{(1)}}
	\end{equation}
	尽管场的各类导数作为一个整体，其变换规则和其余4-向量类似，
	但是非常需要注意的是，场导数变换的Lorentz矩阵相差一个逆！
	数学地说，这是因为，如上写出的场的导数（$\partial_\mu \psi = (\frac{1}{c} \pdv{\psi}{t},\pdv{\psi}{x},\pdv{\psi}{y},\pdv{\psi}{z})$）是一个协变矢量；
	而我们之前见到的4-向量，如$x^\mu = (ct,x,y,z)$，是逆变矢量。
	协变矢量和逆变矢量的Lorentz变换规则有所不同。
	使用Einstein求和的语言，我们更好记住这一规则：
	$$
	x^{(2)\mu} = L^\mu_{~\nu} x^{(1)\nu}
	$$
	而
	$$
	\partial_\mu \psi^{(2)} = L_{\mu}^{~\nu} \partial_\nu \psi^{(1)}
	$$
	根据张量混变的规则，$L^\mu_{~\nu} $与$L_{\mu}^{~\nu} $ 是不同的。
	在我们的题设（一维Lorentz变换）下，刚好对应求逆。
	
	\newpage
	\section{4-向量场的Lorentz变换}
	比Lorentz标量场稍微复杂一点的场是4-向量场，典型例子是电磁场的4-势场。
	和标量场不同，切换参考系时，4-向量场自身的场值要被Lorentz变换一次。
	因此转换参考系时，4-向量场要挨两次Lorentz变换。也正因如此，一个4-向量场不是四个标量场的简单组合。
	数学地说，这意味着
	\begin{equation}
		L A^{(1)} (x^{(1)}) = A^{(2)} (x^{(2)}) \qquad \text{如果} x^{(2)} = L x^{(1)}
	\end{equation}
	或者
	\begin{equation}
		A^{(2)} (x^{(2)}) = L A^{(1)} (L^{-1} x^{(2)})
		\qquad
		A^{(1)} (x^{(1)}) = L^{-1} A^{(2)} (L x^{(1)})
	\end{equation}
	其中$A$是一个4-向量场。
	
	我们以经典的运动电荷的4-势场为例，说明这一过程。
	假设S1系中有一个静止的电荷，它在空间产生一个4-势场：
	\begin{equation}
		A^{(1)} = 
		\begin{pmatrix}
			\varphi(t^{(1)}, x^{(1)}, y^{(1)}, z^{(1)})/c \\
			0\\ 
			0\\
			0\\
		\end{pmatrix}
		=
		\begin{pmatrix}
			\frac{\alpha}{\sqrt{(x^{(1)})^2 + (y^{(1)})^2 + (z^{(1)})^2}}/c \\
			0\\ 
			0\\
			0\\
		\end{pmatrix}
	\end{equation}
	由于S1中电荷静止，因此$A$只有电势分量（$A^0$）不为零。其中$\varphi$是电标势：
	\begin{equation}
		\varphi = \frac{\alpha}{\sqrt{(x^{(1)})^2 + (y^{(1)})^2 + (z^{(1)})^2}}
	\end{equation}
	（简化所有系数为$\alpha$）那么，在$S2$系看来，$A$本身要被Lorentz变换一次：
	\begin{equation}
		LA^{(1)} = 
		\begin{pmatrix} 
			\gamma & -\frac{u}{c} \gamma & 0 & 0 \\ 
			-\frac{u}{c} \gamma & \gamma & 0 & 0 \\ 
			0 & 0 & 1 & 0 \\ 
			0 & 0 & 0 & 1 
		\end{pmatrix}
		\begin{pmatrix}
			\varphi(t^{(1)}, x^{(1)}, y^{(1)}, z^{(1)})/c \\
			0\\ 
			0\\
			0\\
		\end{pmatrix}
		=
		\begin{pmatrix}
			\gamma \varphi(t^{(1)}, x^{(1)}, y^{(1)}, z^{(1)})/c \\
			- \frac{u}{c^2} \gamma\varphi(t^{(1)}, x^{(1)}, y^{(1)}, z^{(1)})\\
			0\\
			0\\
		\end{pmatrix} 
	\end{equation}
	随后将$S1$的坐标改写为$S2$的坐标：
	\begin{equation}
		A^{(2)} = 
		\begin{pmatrix}
			\gamma \varphi(\gamma t^{(2)} + \gamma \frac{u}{c^2} x^{(2)}, \gamma v t^{(2)} + \gamma x^{(2)}, y^{(2)}, z^{(2)})/c \\
			- \frac{u}{c^2} \gamma \varphi(\gamma t^{(2)} + \gamma \frac{u}{c^2} x^{(2)}, \gamma v t^{(2)} + \gamma x^{(2)}, y^{(2)}, z^{(2)}) \\
			0\\
			0\\
		\end{pmatrix} 
	\end{equation}
	代入$\varphi$的表达式，最终得到S2中的$A$：
	\begin{equation}
		A^{(2)} = 
		\begin{pmatrix}
			\gamma  \frac{\alpha}{\sqrt{(\gamma(x^{(2)} + u t^{(2)}))^2 + y^{(2)})^2 + z^{(2)})^2}}/c \\
			- \frac{u}{c} \gamma  \frac{\alpha}{\sqrt{(\gamma (x^{(2)} + u t^{(2)}))^2 + y^{(2)})^2 + z^{(2)})^2}} \\
			0\\
			0\\
		\end{pmatrix} 
	\end{equation}
	因此，在S1中静止的电荷，在S2中是运动的，并且同时产生不为零的磁矢势分量（$A^1$）。
	这再次印证了老生常谈的结论：在相对论下电磁场互相转换。
	这一结果和隔壁笔记一致，只是相差一个符号（因为采用的参考系约定不同）。
	
\end{document}
